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La belleza de los sólidos geométricos: una introducción

La belleza de los sólidos geométricos: una introducción


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Si alguna vez ha visitado Walt Disney World en Florida, sin duda ha visto la cúpula geodésica llamada Spaceship Earth en Epcot. Lleva el nombre de uno de los términos que hizo famoso el arquitecto estadounidense Buckminster Fuller; término que expresaba su visión del mundo y sus recursos.

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Fue Fuller quien popularizó la cúpula geodésica como característica arquitectónica. La forma se basa en poliedros geodésicos, que son una clase de sólido geométrico. Los poliedros geodésicos son poliedros convexos formados por triángulos. Suelen tener simetría icosaédrica, estando formada por 20 caras triangulares equiláteras dispuestas alrededor de la superficie de una esfera.

Otra forma famosa que lleva el nombre de Fuller es la molécula de carbono (C60) buckminsterfullereno, que tiene la forma de un icosaedro truncado que se asemeja a un balón de fútbol. Esta hecho de 20 hexágonos (un 6 caras polígono) y 12 pentágonos De 5 lados polígono).

Tres científicos, Harold Kroto, Robert Curl y Richard Smalley, recibieron el Premio de Novela de Química de 1996 por su descubrimiento de la clase de fullerenos, que incluye buckminsterfullereno.

Los sólidos geométricos se pueden dividir en dos clases: Poliedros y No poliedros. Los poliedros tienen planos caras, o lados, y los ejemplos incluyen cubos y pirámides. Los no poliedros no tienen caras planas, y los ejemplos incluyen la esfera, el cilindro, el toro y el cono. Examinemos primero los no poliedros.

Esfera

Al igual que su contraparte 2D, el círculo, una esfera se define como el conjunto de puntos, en un espacio tridimensional, que están a la misma distancia. r desde un punto dado (el centro), donde r es el radio de la esfera. los diámetro de una esfera es el doble de la longitud de su radio.

los volumen de un sólido geométrico es la cantidad de espacio contenido dentro de la figura, mientras que área de superficie de un sólido geométrico es la extensión del exterior o piel de la figura.

De todos los sólidos geométricos, una esfera tiene el área de superficie más pequeña para un volumen dado. La naturaleza aprovecha esta propiedad en la formación de gotas y burbujas de agua.

El volumen de una esfera está determinado por la fórmula:
V = 4 / 3πr3
dónde r es el radio de la esfera, y π es aproximadamente 3.14159.

El área de superficie de una esfera se calcula mediante la fórmula:
A = 4Πr2

Como ejemplo, el radio de la Tierra es 3,959 millas (6.378 kilometros), por lo que podemos calcular el área de la superficie de la Tierra como:
A = 4 * Π * 3.9592 = 196,961,118 millas cuadradas.

Ya que 71% de la superficie de la Tierra es el océano, que nos deja con 57,118,725 millas cuadradas en el que vivir.

En realidad, la Tierra no es una esfera, sino un esferoide, es decir, está ligeramente aplanado en los polos. El radio polar de la Tierra es 3.950 millas (6.357 kilometros), mientras que su radio ecuatorial es 3,963 millas (6.378 kilometros).

La Tierra es un esferoide achatado, mientras que el conocido fútbol americano es un esferoide alargado. La mitad de una esfera se llama hemisferio, y en la Tierra, desde el polo norte hasta el ecuador está el hemisferio norte, y desde el ecuador hasta el polo sur está el hemisferio sur.

Toro

Para describir un toro, piense en la forma de una rosquilla o una cámara de aire. Un toro se define por dos radios: r, que es el radio de un círculo pequeño que gira a lo largo de una línea formada por un círculo más grande que tiene radio R.

Para encontrar el volumen de un toro, debemos tener en cuenta ambos radios:
V = (2ΠR) * (Πr2), que se puede escribir como:
V = 2 * Π2 * R * r2

Para un toro tener r = 3 pulgadas y R = 7 pulgadas
V = 2 * Π2 * 7 * 32
V ≈ 1,244 pulgadas cúbicas

El área de superficie de un toro está determinada por la fórmula:
A = (2ΠR) * (2Πr), que se puede escribir como:
A = 4 * Π2 * R * r
Si usamos las mismas dimensiones que usamos para el volumen, obtenemos:
A = 4 * Π2 * 7 * 3
A ≈ 829 pulgadas cuadradas

Cilindro

Los cilindros nos son familiares debido a los productos enlatados, que vienen en cilindros. Los cilindros vienen en dos tipos generales: Correcto y Oblicuo. Si los dos extremos de un cilindro están alineados entre sí, se considera un Cilindro derecho, de lo contrario, es un Cilindro oblicuo.

El volumen de un cilindro está determinado por el área de su base multiplicada por su altura:
V = Π * r2 * h
Entonces, para una lata de frijoles horneados que tiene un radio de 1,5 pulgadas y una altura de 4.5 pulgadas, su volumen es:
V = 3,14159 * 2,25 pulgadas cuadradas * 4,5 pulgadas
V 31.8 pulgadas cúbicas
.

El área de superficie de un cilindro es la suma del área de superficie de ambos extremos, que es:
2 * π * r2
más el área de superficie de los lados, que es:
2 * π * r * h
Por tanto, el área de superficie total de un cilindro es:
A = 2 * Π * r * (r + h)
Para nuestra lata de frijoles horneados:
A = 2 * Π * 1,5 * 6
UN 56.5 pulgadas cuadradas
.

Cono

Un cono es un sólido geométrico que tiene un círculo en un extremo, llamado base, y un punto en el otro extremo, llamado el apéndice. Al igual que con los cilindros, cuando el ápice está alineado con el centro de la base, el cono se llama Cono derecho, de lo contrario se llama Cono oblicuo.

El volumen de un cono está determinado por el radio de su base y la altura de su vértice:
V = 1/3 Π * r2 * h
Un cono de helado tipo gofre promedio tiene un radio de 2 pulgadas y una altura de 7 pulgadas. Para saber el volumen de helado que puede contener:
V = 1/3 * 3,14159 * 4 pulgadas cuadradas * 7 pulgadas
V 29.32 pulgadas cúbicas
.

El área de la superficie de un cono se determina sumando el área de la base, que es:
π * r2
y el área de los lados del cono, que es:
π * r * s
dónde s es el longitud inclinada, que es la distancia desde la base hasta el vértice medida a lo largo del costado del objeto.
Por lo tanto, el área de la superficie de un cono es:
A = π * r * (r + s)
Para un cono que tiene r = 2 y h = 7, la superficie de la base sería:
A = 3,14159 * 4
A ≈ 12,57

El área de la superficie del costado es:
A = π * 2 * √ (22 + 72)
A = π * 2 * √(4 + 49)
A = 2π√ (53)
A ≈ 45,74
A = 12,57 + 45,74 58.31 pulgadas cuadradas
.

Si comparamos el volumen de un cilindro y un cono que tienen el mismo tamaño de base y altura, el volumen del cono es exactamente 1/3 la del cilindro. Eso significa que si los conos de helado vinieran en cilindros y no en conos, obtendría tres veces más helado. ¡Hurra!

Poliedros

Ahora que hemos examinado los sólidos geométricos no poliedros, es hora de echar un vistazo a los sólidos poliedros. UN poliedro es un sólido geométrico que tiene caras planas, o polígonos, que son figuras 2D que tienen al menos 3 lados y ángulos rectos. En griego, poli significa "muchos" y edro significa "rostro".

Los principales tipos de poliedros son:

  • Cuboides y cubos
  • Sólidos platónicos
  • Prismas
  • Pirámides

Cuboides y cubos

Los cuboides son objetos en forma de caja que tienen 6 caras planas, y todos sus ángulos son correctos, o 90 ° anglos. Los cuboides tienen un longitud, un anchuray un altura. Cuando los tres (largo, ancho y alto) son iguales, un cuboide se llama cubo y cada una de sus caras es un cuadrado. Un cubo tiene 6 caras, 8 verticies y 12 aristas.

Determinamos el volumen de un cuboide mediante:
V = largo * ancho * alto
Entonces, para una caja que tiene una longitud de 10 pulgadas, un ancho de 4 pulgadasy una altura de 5 pulgadas:
V = 10 * 4 * 5
V =
200 pulgadas cúbicas.
Es bueno saber si desea enviar un paquete.

El área de superficie de un cuboide está determinada por:
A = 2 * ancho * largo + 2 * largo * alto + 2 * alto * ancho
Para la caja que tiene una longitud de 10 pulgadas, un ancho de 4 pulgadasy una altura de 5 pulgadas:
A = 2 * 4 * 10 + 2 * 10 * 5 + 2 * 5 * 4
A = 220 pulgadas cuadradas
.
También es bueno saber si desea envolver una caja.

Los sólidos platónicos

Llamadas así por el filósofo griego Platón, estas son formas tridimensionales donde cada cara polígono regular, es decir, un polígono cuyos lados tienen todos la misma longitud. Además, un sólido platónico debe tener el mismo número de polígonos que se encuentran en cada vértice, o esquina. Eso significa que el cubo que acabamos de encontrar arriba es un sólido platónico, porque cada una de sus caras es un cuadrado del mismo tamaño, y 3 cuadrados se encuentran en cada uno de sus vértices.

Tetraedro

Otro sólido platónico es el tetraedro, que también se conoce como pirámide triangular. Se compone de 4 caras triangulares, 6 bordes rectos y 4 vértices. Es el único sólido platónico que no tiene caras paralelas y es el más simple de todos los sólidos platónicos.

Cuando un tetraedro tiene todas las caras del mismo tamaño y forma, es un Tetraedro regular, de lo contrario es un Tetraedro irregular.

El volumen de un tetraedro está determinado por:
V = √2 / 12 * (Longitud del borde)3
Para un tetraedro que tiene una longitud de borde de 4 pulgadas
V = 1.414 / 12 * 64
V 7.54 pulgadas cúbicas
.

El área de superficie de un tetraedro se puede encontrar mediante:
A = √3 * (Longitud del borde)2
Entonces, para nuestro tetraedro que tiene una longitud de borde de 4, su superficie sería:
A = 1,732 * 16
A = ≈ 27,71 pulgadas cuadradas
.

Octaedro

Un octaedro es como dos pirámides cuadradas conectadas en sus bases. Tiene 4 triángulos que se encuentran en cada vértice, 8caras, 6vértices y 12 aristas.

Podemos calcular el volumen de un octaedro mediante:
V = (√2) / 3 * (Longitud del borde)3
Para un octaedro que tiene una longitud de borde de 4 pulgadas, su volumen sería:
V = 1.414 / 3 * 64
V ≈ 30.17 pulgadas cúbicas
.

El área de superficie de un octaedro es:
A = 2 * √3 * (Longitud del borde)2
A = 2 * 1,732 * 16
A ≈ 55,42 pulgadas cuadradas
.

Dodecaedro

Este sólido platónico se forma cuando 3 pentágonos (De 5 lados polígonos) se encuentran en cada vértice, tiene 12 caras, 20 vértices y 30 aristas. Un dodecaedro recibe su nombre del griego dodeca, lo que significa 12.

El volumen de un dodecaedro es:
V = (15 + 7 * √5) / 4 * (Longitud del borde)3
Para un dodecaedro que tiene una longitud de borde de 4 pulgadas, su volumen sería:
V = (15 + 7 * 2.236) / 4 * 64
V ≈ 490.43 pulgadas cúbicas
.

La fórmula para encontrar el área de superficie de un dodecaedro es:
A = 3 * √ (25 + 10 * √5) * (Longitud del borde)2
A = 3 (25 + 22,36) * 16
A ≈ 330,33 pulgadas cuadradas
.

Icosaedro

El más complejo de los sólidos platónicos, en cada uno de sus vértices, 5 trangles conoce, el icosaedro tiene 20 caras cada uno de los cuales es un triángulo equilátero (un triángulo que tiene 3 iguales lados y 3 iguales ángulos de 60°), 12 vértices y 30 aristas.

El icosaedro puede resultarle familiar por jugar juegos que usan dados de 20 caras, y aparentemente la madre naturaleza también siente predilección por esta forma, porque la capa exterior del virus del papiloma humano es un icosaedro.

El volumen de un icosaedro está determinado por la fórmula:
V = 5 * (3 + √5) / 12 * (Longitud del borde)3
entonces, para un icosaedro que tiene una longitud de borde de 4 pulgadas, su volumen sería:
V = 5 (5.236) / 12 * 64
V ≈ 139.63 pulgadas cúbicas
.

La fórmula para calcular el área de superficie de un icosaedro es:
A = 5 * √3 * (Longitud del borde)2
A ≈ 138,56 pulgadas cuadradas
.

Prismas

Un prisma es un sólido geométrico que tiene extremos idénticos, caras planas y la misma sección transversal a lo largo de su longitud. Los dos extremos de un prisim se llaman su bases, y las caras de un prisma son todas paralelogramos (una figura en 2D cuyos lados opuestos son paralelos e iguales, y cuyos ángulos opuestos son iguales).

Según esta definición, el cuboide y los cubos que encontramos arriba son prismas, pero también puedes tener prismas triangulares, pentagonales y hexagonales, cuyas secciones transversales son un triángulo, un pentágono y un hexágono, respectivamente.

Las secciones transversales de Prismas regulares tienen longitudes de borde iguales y ángulos iguales, mientras que las secciones transversales de Prismas irregulares tienen longitudes de borde desiguales y ángulos desiguales.

Si las bases de un prisma están alineadas entre sí, se dice que el prisma es un Prisma derecho, si las bases no están alineadas entre sí, se dice que es un Prisma oblicuo.

Podemos determinar el volumen de un prisma mediante:
Volumen = Área base * Longitud
Para un prisma triangular que tiene un área de base de 25 pulgadas cuadradas y una longitud de 10 pulgadas, su volumen sería:
V = 25 pulgadas cuadradas * 10 pulgadas
V = 250 pulgadas cúbicas.

Podemos encontrar el área de la superficie de un prisma triangular mediante:
2 * Área de la base + Perímetro de la base * Longitud
Si usamos el ejemplo anterior, nuestro prisma triangular tiene un área de base de 25 pulgadas cuadradas, una longitud de 10 pulgadas, y un perímetro base de 24 pulgadas:
A = 2 * 25 pulgadas cuadradas + 24 pulgadas * 10 pulgadas
A = 290 pulgadas cuadradas

Pirámides

Una pirámide se define por tener una base que es un polígono, un vértice y caras que son triángulos. Las famosas pirámides de la meseta de Giza en Egipto son en realidad Pirámides cuadradas porque sus bases son un cuadrado. También puede tener una pirámide con una base triangular llamada Pirámide Triangular y una pirámide con un pentágono como base llamada Pirámide Pentagonal.

Si el vértice de una pirámide está directamente sobre el centro de su base, se dice que es un Pirámide derecha. Si el vértice no está sobre el centro de la base, se dice que es un Pirámide oblicua.

El volumen de una pirámide está determinado por:
V = 1/3 * Área de la base * altura
Determinamos el volumen de la pirámide de Keops, la más grande de las tres pirámides de la meseta de Giza. La longitud de cada lado de su base es 756 pies o 230,34 metros. Por lo tanto, su área de base es 571,536pies cuadrados o 53,056.5metros cuadrados. La altura de la Gran Pirámide es 455 pies o 138,7 metros, por lo tanto, el volumen de la Gran Pirámide es:
V = 1/3 * 571,536 pies cuadrados * 455 pies
V = 86,682,960 pies cúbicos

Eso es mucho espacio para el faraón Keops, que está enterrado en la pirámide.

El área de superficie de una pirámide tiene dos partes: la Área de la base y el Área lateral. Para una pirámide irregular, debe sumar el área de cada una de sus caras triangulares para encontrar su área de superficie, pero para una pirámide regular, podemos encontrar el área lateral por:
A = (perímetro * longitud inclinada) / 2
Para la Gran Pirámide cuya longitud base es 756 pies, su perímetro es 3,024 pies y su longitud inclinada es 612 pies o 186.42 metros. Por lo tanto, el área de la superficie lateral de la Gran Pirámide es:
A = (3024 * 612) / 2
cual es 925,344 pies cuadrados.

Cientos de sólidos geométricos

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